Em 23 de junho de 1993, o matemático Andrew Wiles deu a última de três palestras detalhando sua solução para o último teorema de Fermat , um problema que permaneceu sem solução por três séculos e meio. O anúncio de Wiles causou sensação, tanto na comunidade matemática quanto na mídia .

Além de fornecer uma solução satisfatória para um problema de longa data, o trabalho de Wiles marca um momento importante no estabelecimento de uma ponte entre duas importantes, mas aparentemente muito diferentes, áreas da matemática.

A história demonstra que muitos dos maiores avanços na matemática envolvem fazer conexões entre ramos aparentemente díspares do assunto. Essas pontes permitem que matemáticos, como nós dois , transportem problemas de um ramo para outro e tenham acesso a novas ferramentas, técnicas e insights.

O último teorema de Fermat é semelhante ao teorema de Pitágoras , que afirma que os lados de qualquer triângulo retângulo fornecem uma solução para a equação x 2 + y 2 = z 2 .

Cada triângulo de tamanho diferente fornece uma solução diferente e, de fato, existem infinitas soluções em que todos os três de x, y e z são números inteiros - o menor exemplo é x = 3, y = 4 e z = 5.

O último teorema de Fermat é sobre o que acontece se o expoente mudar para algo maior que 2. Existem soluções de números inteiros para x 3 + y 3 = z 3 ? E se o expoente for 10, 50 ou 30 milhões? Ou, de forma mais geral, que tal qualquer número positivo maior que 2?

Por volta do ano de 1637, Pierre de Fermat afirmou que a resposta era não, não há três números inteiros positivos que sejam uma solução para x n + y n = z n para qualquer n maior que 2. O matemático francês rabiscou essa afirmação no margens de sua cópia de um livro de matemática da Grécia antiga , declarando que tinha uma prova maravilhosa de que a margem era "muito estreita para conter".

A suposta prova de Fermat nunca foi encontrada, e seu "último teorema" das margens, publicado postumamente por seu filho, passou a atormentar os matemáticos por séculos.

Nos 356 anos seguintes, ninguém conseguiu encontrar a prova que faltava para Fermat, mas também ninguém conseguiu provar que ele estava errado — nem mesmo Homer Simpson . O teorema rapidamente ganhou a reputação de ser incrivelmente difícil ou mesmo impossível de provar, com milhares de provas incorretas apresentadas. O teorema até ganhou um lugar no Guinness World Records como o " problema matemático mais difícil ".

Isso não quer dizer que não houve progresso. O próprio Fermat provou isso para n = 3 e n = 4. Muitos outros matemáticos, incluindo a pioneira Sophie Germain , contribuíram com provas para valores individuais de n, inspirados pelos métodos de Fermat.

Mas saber que o último teorema de Fermat é verdadeiro para certos números não é suficiente para os matemáticos - precisamos saber que é verdadeiro para um número infinito deles. Os matemáticos queriam uma prova que funcionasse para todos os números maiores que 2 ao mesmo tempo, mas durante séculos parecia que tal prova não poderia ser encontrada.

No entanto, no final do século 20, um crescente corpo de trabalho sugeriu que o último teorema de Fermat deveria ser verdadeiro. No centro deste trabalho estava algo chamado conjectura da modularidade, também conhecida como conjectura de Taniyama-Shimura .

A conjectura da modularidade propôs uma conexão entre dois objetos matemáticos aparentemente não relacionados: curvas elípticas e formas modulares .

Curvas elípticas não são elipses nem curvas. Eles são espaços em forma de rosquinha de soluções para equações cúbicas, como y 2 = x 3 —3x + 1.

Uma forma modular é um tipo de função que recebe certos números complexos - números com duas partes: uma parte real e uma parte imaginária - e produz outro número complexo. O que torna essas funções especiais é que elas são altamente simétricas , o que significa que há muitas condições sobre como elas podem se parecer.

Não há razão para esperar que esses dois conceitos estejam relacionados, mas é isso que a conjectura de modularidade sugere .

A conjectura de modularidade não parece dizer nada sobre equações como x n + y n = z n . Mas o trabalho de matemáticos na década de 1980 mostrou uma ligação entre essas novas ideias e o antigo teorema de Fermat.

Primeiro, em 1985, Gerhard Frey percebeu que se Fermat estivesse errado e pudesse haver uma solução para x n + y n = z n para algum n maior que 2, essa solução produziria uma curva elíptica peculiar. Então Kenneth Ribet mostrou em 1986 que tal curva não poderia existir em um universo onde a conjectura da modularidade também fosse verdadeira.

O trabalho deles implicava que, se os matemáticos pudessem provar a conjectura da modularidade, o último teorema de Fermat deveria ser verdadeiro. Para muitos matemáticos, incluindo Andrew Wiles, trabalhar na conjectura da modularidade tornou-se um caminho para provar o último teorema de Fermat.

Wiles trabalhou por sete anos, principalmente em segredo , tentando provar essa difícil conjectura. Em 1993, ele estava perto de obter a prova de um caso especial da conjectura da modularidade — que era tudo de que precisava para provar o último teorema de Fermat.

Ele apresentou seu trabalho em uma série de palestras no Isaac Newton Institute em junho de 1993. Embora a revisão por pares subsequente tenha encontrado uma lacuna na prova de Wiles, Wiles e seu ex-aluno Richard Taylor trabalharam por mais um ano para preencher essa lacuna e cimentar a última de Fermat. teorema como uma verdade matemática.

Os impactos do último teorema de Fermat e sua solução continuam a reverberar no mundo da matemática. Em 2001, um grupo de pesquisadores, incluindo Taylor, deu uma prova completa da conjectura da modularidade em uma série de artigos inspirados no trabalho de Wiles. Essa ponte concluída entre curvas elípticas e formas modulares foi - e continuará a ser - fundamental para a compreensão da matemática, mesmo além do último teorema de Fermat.

O trabalho de Wiles é citado como o início de " uma nova era na teoria dos números " e é fundamental para peças importantes da matemática moderna, incluindo uma técnica de criptografia amplamente usada e um enorme esforço de pesquisa conhecido como Programa de Langlands , que visa construir uma ponte entre duas áreas da matemática: teoria algébrica dos números e análise harmônica.

Embora Wiles trabalhasse principalmente de forma isolada, ele acabou precisando da ajuda de seus colegas para identificar e preencher a lacuna em sua prova original. Cada vez mais, a matemática hoje é um empreendimento colaborativo , como testemunhado pelo que foi necessário para concluir a prova da conjectura de modularidade . Os problemas são grandes e complexos e muitas vezes requerem uma variedade de conhecimentos.

Então, finalmente, Fermat realmente tinha uma prova de seu último teorema, como ele afirmava? Sabendo o que os matemáticos sabem agora, muitos de nós hoje não acreditam que ele sabia. Embora Fermat fosse brilhante, às vezes ele estava errado. Os matemáticos podem aceitar que ele acreditava ter uma prova, mas é improvável que sua prova resistisse ao escrutínio moderno.