Um professor da Universidade Rutgers-New Brunswick que dedicou sua carreira a resolver os mistérios da matemática avançada resolveu dois problemas fundamentais separados que deixaram os matemáticos perplexos por décadas.

As soluções para esses problemas de longa data podem aumentar ainda mais nossa compreensão das simetrias de estruturas e objetos na natureza e na ciência, e do comportamento de longo prazo de vários processos aleatórios que surgem em campos que vão da química e física à engenharia, ciência da computação e economia.

Pham Tiep, o distinto professor de matemática Joshua Barlaz no Departamento de Matemática da Escola de Artes e Ciências da Rutgers, concluiu uma prova da Conjectura da Altura Zero de 1955 proposta por Richard Brauer, um importante matemático germano-americano que morreu em 1977.

A prova da conjectura — comumente vista como um dos desafios mais marcantes em um campo da matemática conhecido como teoria da representação de grupos finitos — foi publicada nos Anais de Matemática .

"Uma conjectura é uma ideia que você acredita ter alguma validade", disse Tiep, que pensou sobre o problema de Brauer durante a maior parte de sua carreira e trabalhou intensamente nele nos últimos 10 anos. "Mas conjecturas precisam ser provadas. Eu esperava avançar no campo. Nunca esperei ser capaz de resolver este."

De certa forma, Tiep e seus colegas seguiram um modelo de desafios que Brauer apresentou a eles em uma série de conjecturas matemáticas propostas e publicadas nas décadas de 1950 e 1960.

"Alguns matemáticos têm esse intelecto raro", disse Tiep sobre Brauer. "É como se eles viessem de outro planeta ou de outro mundo. Eles são capazes de ver fenômenos ocultos que outros não conseguem."

No segundo avanço, Tiep resolveu um problema difícil no que é conhecido como teoria de Deligne-Lusztig, parte da maquinaria fundamental da teoria da representação. O avanço toca em traços, uma característica importante de uma matriz retangular conhecida como matriz. O traço de uma matriz é a soma de seus elementos diagonais. O trabalho é detalhado em dois artigos. Um foi publicado em Inventiones mathematicae , o segundo em Annals of Mathematics .

"O trabalho de alta qualidade e a experiência de Tiep em grupos finitos permitiram que a Rutgers mantivesse seu status como um dos principais centros mundiais no assunto", disse Stephen Miller, professor emérito e presidente do Departamento de Matemática.

Insights da solução provavelmente aumentarão muito a compreensão dos matemáticos sobre traços, disse Tiep. A solução também fornece insights que podem levar a descobertas em outros problemas importantes da matemática, incluindo conjecturas apresentadas pelo matemático da Universidade da Flórida John Thompson e pelo matemático israelense Alexander Lubotzky, ele acrescentou.

Ambas as descobertas são avanços no campo da teoria da representação de grupos finitos, um subconjunto da álgebra. A teoria da representação é uma ferramenta importante em muitas áreas da matemática, incluindo teoria dos números e geometria algébrica, bem como nas ciências físicas, incluindo física de partículas. Por meio de objetos matemáticos conhecidos como grupos, a teoria da representação também tem sido usada para estudar simetria em moléculas, criptografar mensagens e produzir códigos de correção de erros.

Seguindo os princípios da teoria da representação, os matemáticos pegam formas abstratas que existem na geometria euclidiana — algumas delas extremamente complexas — e as transformam em matrizes de números. Isso pode ser alcançado identificando certos pontos que existem em cada forma tridimensional ou de dimensões superiores e convertendo-os em números colocados em linhas e colunas.

A operação reversa também deve funcionar, disse Tiep. É preciso ser capaz de reconstituir a forma a partir da sequência de números.

Ao contrário de muitos de seus colegas nas ciências físicas, que frequentemente empregam dispositivos complexos para avançar em seu trabalho, Tiep disse que usa apenas caneta e papel para conduzir sua pesquisa, que até agora resultou em cinco livros e mais de 200 artigos em importantes periódicos matemáticos.

Ele anota fórmulas matemáticas ou frases indicando cadeias de lógica. Ele também se envolve em conversas contínuas — pessoalmente ou no Zoom — com colegas conforme eles avançam passo a passo em uma prova.

Mas o progresso pode vir da reflexão interna, disse Tiep, e as ideias surgem quando ele menos espera.

"Talvez eu esteja caminhando com nossos filhos ou fazendo jardinagem com minha esposa ou apenas fazendo algo na cozinha", ele disse. "Minha esposa diz que sempre sabe quando estou pensando em matemática."

Na primeira prova, Tiep colaborou com Gunter Malle, da Technische Universität Kaiserslautern, na Alemanha, Gabriel Navarro, da Universitat de València, na Espanha, e Amanda Schaeffer Fry, ex-aluna de pós-graduação de Tiep que agora está na Universidade de Denver.

Para o segundo avanço, Tiep trabalhou com Robert Guralnick da University of Southern California e Michael Larsen da Indiana University. No primeiro de dois artigos que abordam os problemas matemáticos em traços e os resolvem, Tiep trabalhou com Guralnick e Larsen. Tiep e Larsen são coautores do segundo artigo.

"Tiep e coautores obtiveram limites em traços que são tão bons quanto poderíamos esperar obter", disse Miller. "É um assunto maduro que é importante de muitos ângulos, então o progresso é difícil — e as aplicações são muitas."