Algumas pessoas gostam de fazer caminhadas aleata³rias pelo bosque, enquanto outras podem passear por seu pra³prio bairro. No mundo da matemática, um passeio aleata³rio éde fato mais aleata³rio do que isso; seria o equivalente a jogar uma moeda para decidir qual direção vocêtomaria a cada passo.

Recentemente, Omer Tamuz , professor de economia e matemática, da Caltech , juntamente com dois de seus alunos de graduação, Joshua Frisch e Pooya Vahidi Ferdowsi, e seu colega Yair Hartman, da Universidade Ben-Gurion, em Israel, resolveram um antigo problema de matemática relacionado a anda em. A solução foi publicada no vera£o passado na revista Annals of Mathematics .

"Lembro-me de conversar com os alunos sobre uma compreensão que tivemos sobre esse problema e, na manha£ seguinte, descobri que eles ficaram acordados atétarde da noite e descobriram", diz Tamuz.

"Tivemos muita sorte porque este projeto realmente nos deu a solução que quera­amos. Isso émuito raro em um projeto de matemática", diz Frisch. "Em cerca de 90% dos projetos em que vocêtrabalha, vocênão serácapaz de resolver. Com cerca de 10%, vocêcomea§a a progredir e trabalha muito mais. E mesmo assim, nem sempre os resolve. Parte de ser matema¡tico estãose acostumando ao fracasso. a€s vezes, vocêtrabalha em algo por meses e precisa desistir e seguir para o pra³ximo projeto ".

Os matema¡ticos imaginam passeios aleata³rios em Espaços com diferentesDimensões e geometrias. No novo estudo, a equipe da Caltech imaginou passeios aleata³rios em "grupos", que são objetos que podem ter geometrias muito diversas. Para alguns grupos, os passeios aleata³rios acabara£o, depois de muito tempo, convergir para uma direção especa­fica. Nesses casos, os passeios são considerados dependentes do caminho, o que significa que algo que aconteceu no ini­cio afeta o resultado. Ou, em outras palavras, algo que acontece no ini­cio da caminhada influencia onde termina. Mas para outros grupos, a direção dos passeios não converge e a história deles não afeta o futuro.

"Para um processo aleata³rio, éverdade que, a longo prazo, tudo se esvai e o que quer que acontea§a, independentemente do que aconteceu antes? Ou háuma lembrana§a do que aconteceu antes?" pergunta Tamuz. "Digamos que vocêtenha duas sociedades, e uma delas faz algum avanço tecnola³gico enquanto a outra sofre um desastre natural. Essas diferenças va£o persistir para sempre ou acabara£o desaparecendo e esqueceremos que uma vez houve uma vantagem? Aleatoriamente" hámuito tempo se sabe que existem grupos que tem essas memórias, enquanto em outros grupos as memórias são apagadas, mas não ficou muito claro quais grupos tem essa propriedade e quais não - ou seja, o que faz um grupo ter memória ? Isso éo que descobrimos. "

A solução, diz Tamuz, tinha a ver com encontrar uma "maneira geomanãtrica de descrever uma propriedade alganãbrica dos grupos". Para entender a essaªncia disso, pense em um ca­rculo. Vocaª pode descrever o ca­rculo geometricamente (como o conjunto de todos os pontos a uma determinada distância de um ponto) ou pode descrevaª-lo com uma equação alganãbrica. No caso do problema da caminhada aleata³ria, os matema¡ticos encontraram uma nova maneira de pensar sobre as conexões entre as propriedades geomanãtricas e alganãbricas dos grupos que estudavam.

"Ficamos realmente chocados com o quanto fa¡cil foi resolver o problema depois que descobrimos essa conexa£o", diz Ferdowsi, que explica que, embora a solução "tenha acabado de surgir", a equipe enfrentou um atraso "considera¡vel" enquanto ele estava em suapaís de origem do Ira£ e incapaz de obter um visto para voltar a Caltech. "No final, ficamos encantados por ter resolvido um problema aberto de longa data em matemática."

Frisch diz que a grande realização que tiveram para esse problema de matemática realmente cresceu a partir de um problema anterior que era muito mais difa­cil. "Ha¡ alguns meses eu estava pensando mal e não conseguia progredir", diz ele, "mas então ta­nhamos uma ideia eureka que se aplicava não apenas ao que esta¡vamos trabalhando na anãpoca, mas também a essa mais recente a‰ realmente bom quando vocêpercebe: 'Oh meu Deus, isso realmente vai funcionar'. "